无理数的正确定义
无理数的正确定义：小数部分的数值是仅有且唯有用无限不循环小数位值之和的极限值才能精准表达的实数，这样的实数就称之无理数。由于无限不循环小数是无限位数，具有不确定数值，但无限不循环小数的极限值是唯一确定数值，所以确定的无理数不能仅用“无限不循环小数”来精准表达，还必须增加“极限值”才能精准表达。
无理数是具体客观事物的属性值、物理量值按照某种规则运算而来的唯一确定、客观存在的数值，它用十进制不能精准表达，如果用十进制表达它，它的小数部分表现为无限不循环小数，具体的无理数=整数部分（有限位有理数）+无限不循环小数位值之和（有理数数列）的极限值（无理数），无限位小数部分是递增有界数列，具有唯一、确定的极限值，无理数用十进制数表达，小数部分只能取四舍五入的近似值、大约数。例如圆周率是圆周长/直径，是唯一确定的常数，它的整数位是3，小数部分存在无限不循环小数，近似值是0.14，圆周率大约为3.14.
目前课本上无理数的定义不严密，无限不循环小数就是无理数小数部分的位值之和，事实上，无限不循环小数是无限位数，是无限位有理数的位值之和，有理数之和永恒是有理数，这是有理数相加的基本原则，不能违背，但无理数=整数部分（有理数）+无限不循环小数位值之和（有理数），等式两边，左边是具体确定值的无理数，右边却是具有不确定值的有理数，这是自相矛盾的内容、逻辑，因此目前课本无理数定义是自相矛盾的错误定义，必须立即纠正，必须用无理数的正确定义、精准表达式。
特别指出：无限不循环小数是有理数数列，可以无限逼近其极限值（无理数）。
一、无理数定义
即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。无理数是无限不循环小数。
如圆周率π、根号2等。
二、无理数性质
无限不循环的小数就是无理数 。换句话说，就是不可以化为整数或者整数比的数。
性质1: 无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数
性质2:无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数
性质3:无理数加（减）有理数一定是无理数
性质4: 无理数乘（除）一个非0有理数一定是无理数。
三、无理数与有理数的区别
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数。
比如： 4/1=4 ; 4/5=0.8； 1/3=0.33333……
而无理数只能写成无限不循环小数。
比如： 根号2=1.414213562…………
根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数；2、所有的有理数都可以写成两个整数之比,而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。
四、无理数的识别：
判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数，而把无理数写成无限不循环小数，不但麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。
初中常见的无理数有三种类型：
（1）含根号且开方开不尽的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数；
（2）化简后含π的式子；
（3）不循环的无限小数。
注： 掌握 常见无理数的类型有助于识别无理数。
五、无理数的历史
毕达哥拉斯（Pythagqras,约公元前885年至公元前400年间）是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股弦定理），即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“凡物皆数”的观点，数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。在他死后大约200年，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。
公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒，于是希伯索斯被残忍地扔进了大海。希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。
于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。不可约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。
15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。
